Lãi kép là một mảng kiến thức tuy đơn giản nhưng ứng dụng cực kì lớn trong các bài toán ôn thi THPT QG môn toán. Bài viết dưới đây chúng ta sẽ tìm hiểu chi tiết về công thức lãi kép và một số bài toán vận dụng trong việc tính lãi thực tế.
Công thức lãi đơn
[content_1]Số tiền lãi chỉ tính trên số tiền gốc mà không tính trên số tiền lãi do số tiền gốc sinh ra.
Công thức tính lãi đơn:
T = M(1 + r.n)
Trong đó
T: Số tiền cả vốn lẫn lãi sau n kỳ hạn
M: Tiền gửi ban đầu
n: Số kỳ hạn tính lãi
r: Lãi suất định kỳ, tính theo %
Công thức lãi kép
[content_2]Là số tiền lãi không chỉ tính trên số tiền gốc mà còn tính trên số tiền lãi do tiền gốc đó sinh ra thay đổi theo từng định kỳ.
Lãi kép gửi một lần
T = M(1 + r)n
Trong đó:
T: Số tiền cả vốn lẫn lãi sau n kỳ hạn
M: Tiền gửi ban đầu
n: Số kỳ hạn tính lãi
r: Lãi suất định kỳ, tính theo %
Lãi kép gửi định kỳ
Trường hợp 1: Tiền được gửi vào cuối mỗi tháng
+) Cuối tháng thứ nhất cũng là lúc người đó bắt đầu gửi tiền: T1 = M
+) Cuối tháng thứ 2, người đó có số tiền là:
+) Cuối tháng thứ 3:
+) Cuối tháng thứ n, người đó có số tiền là:
Tiếp cận khác về công thức
+) Tiền gửi tháng thứ nhất sau n - 1 kỳ hạn (n - 1 tháng) thành: M(1 + r)n−1
+) Tiền gửi tháng thứ nhất sau n - 2 kỳ hạn (n - 2 tháng) thành: M(1 + r)n−2
+) Tiền gửi tháng cuối cùng là: M(1 + r)n
Vậy áp dụng công thức tổng cấp số nhân, số tiền cuối cùng tháng n là:
Ta cũng được công thức trên:
Trường hợp 2: Tiền gửi vào đầu mỗi tháng.
Các bài toán ứng dụng lãi đơn, lãi kép
[content_3]Câu 1. Ông Diêu gửi 150 triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép kì hạn 1 năm với lãi suất x ∈ [5%; 7%] năm. Sau 4 năm ông ta rút tất cả tiền ra và vay thêm ngân hàng 
triệu đồng cũng với lãi suất x%. Ngân hàng cầm lấy lãi suất x bao nhiêu để 3 năm nữa sau khi trả ngân hàng, số tiền của ông Diêu còn lại nhỏ nhất ( giả sử lãi suất không thay đổi).
A. x = 6%
B. x = 7%
C. x = 5%
D. x = 6.5%
Hướng dẫn giải
Chọn A
Số tiền của ông sau 4 năm là 150(1 + x)4
Số tiền của ông nợ ngân hàng sau 3 năm từ khi rút tiền là 
Sau khi trả ngân hàng số tiền ông còn lại 
Ta có 
.
Vẽ bảng biến thiên thấy f(x) nhỏ nhất tại x = 6%
Câu 2. Ông A vay ngắn hạn ngân hàng 100 triệu đồng, với lãi suất 12% trên năm. Ông muốn hoàn nợ cho ngân hàng theo cách sau: Sau đúng 1 tháng kể từ ngày vay, ông bắt đầu hoàn nợ; hai lần hoàn nợ liên tiếp cách nhau đúng 1 tháng số tiền hoàn nợ ở mỗi lần là như nhau và trẻ hết tiền nợ đúng ba tháng kể từ ngày vay. Hỏi theo cách đó, số tiền m mà ông A phải trả cho ngân hàng theo cách đó là bao nhiêu? Biết rằng, lãi suất ngân hàng không thay đổi theo thời gian ông A hoàn nợ.
A. 
(triệu đồng)
B. 
(triệu đồng)
C. 
(triệu đồng)
D. 
(triệu đồng)
Hướng dẫn giải
Chọn B
Lãi suất 12%/ 1 năm tương ứng 1%/ tháng nên r = 0,01 (do vay ngắn hạn)
Số tiền gốc sau 1 tháng là: T + T. r - m = T(1 + r) - m
Số tiền gốc sau 2 tháng là: [T(1 + r) - m] + [T(1 + r) - m]x - m = T(1 + r)2 - m[(1 + r) + 1]
Số tiền sau 3 tháng là: T(1 + r)3 - m[(1 + r)2 + 1 + r + 1] = 0
Do đó 
(triệu đồng)
Câu 3. Ông A mong muốn sở hữu khoản tiền 20.000.000đ vào ngày 2/3/2012 ở một tài khoản lãi suất là 6,05%. Hỏi ông A cần đầu tư bao nhiêu tiền trên tài khoản này vào ngày 2/3/2007 để đạt được mục tiêu đề ra?
A. 14.909.965,25 (đồng)
B. 14.909.965,26 (đồng)
C. 14.909.955,25 (đồng)
D. 14.909.865,25 (đồng)
Hướng dẫn giải
Chọn A
Gọi V0 là lượng vốn cần đầu tư ban đầu, lượng vốn sẽ được đầu tư trong 5 năm nên ta có:
20.000.000 = V0 * (1 + 0,0605)5
⇒ V0 = 20.000.000 * (1 + 0,0605)−5 = 14.909.965,25 (đồng)
Câu 4. Ông Tuấn gửi 9,8 triệu đồng tiết kiệm với lãi suất 8,4%/ 1 năm và lãi suất hằng năm được nhập vào vốn. Hỏi theo cách đó thì sau bao nhiêu năm người đó thu được tổng số tiền 20 triệu đồng (Biết rằng lãi suất không thay đổi).
A. 9 năm
B. 8 năm
C. 7 năm
D. 10 năm
Hướng dẫn giải
Chọn A
Gọi P là số tiền gửi ban đầu. Sau n năm (n ∈ ℕ), số tiền thu được là
Pn = P.(1 + 0,084)n = P.(1,084)n
Áp dụng với số tiền bài toán cho ta được
Vì n là số tự nhiên nên ta chọn n = 9
Câu 5. Ông Tuấn gửi tiết kiệm với lãi suất 8,4%/ 1 năm và lãi hằng năm được nhập vào vốn. Hỏi sau bao nhiêu năm ngươi đó thu về gấp đôi số tiền ban đầu?
A. 8 năm
B. 9 năm
C. 6 năm
D. 10 năm
Hướng dẫn giải
Chọn B
Gọi a là số tiền ban đầu mà người đó gửi vào ngân hàng và n (n ∈ ℕ) là số năm mà số tiền nhận được tăng gấp đôi
Theo công thức lãi kép, ta có phương trình
Vì lãi suất được tính theo năm nên phải đến cuối năm người đó mới nhận được tiền. Do đó, n = 9
Câu 6. Anh A mua nhà trị giá ba trăm triệu đồng theo phương thức trả góp
a) Nếu cuối mỗi tháng, bắt đầu từ tháng thứ nhất anh A trẻ 5500000đ và chịu lãi suất số tiền chưa trả là 0,5%/ tháng thì sau bao nhiêu tháng anh A trả hết số tiền trên.
A. n = 64
B. n = 60
C. n = 65
D. n = 64,1
b) Nếu anh A muốn trả hết nợ trong vòng 5 năm và phải trả lãi với mức/ năm thì mỗi tháng anh A phải trả bao nhiêu tiền? ( làm tròn đến nghìn đồng)
A. 5.935.000 (đồng)
B. 5.900.000 (đồng)
C. 5.940.000 (đồng)
D. 5.930.000 (đồng)
Hướng dẫn giải
Chọn A
a) Gọi số tiền anh A nợ ban đầu là M, lãi suất hàng tháng là r%, số tiền hằng tháng anh ta phải trả là a
Với đề bài này có thể coi là “người nợ tiền nợ vào đầu tháng”
Người này trả hết nợ, nghĩa là 
Thay số rồi bấm Shift Solve sẽ tính được n = 64 với:
M = 300.000.000; r = 0,5%; a = 5.500.000
b) Thay vào công thức:
Với M = 300.000.000; r = 6 (%/năm); a = 5. Tìm a (tiền trả hằng năm):
Vậy tiền trả hằng tháng sẽ áp dụng công thức:
Kết luận: Số tiền phải trả hằng tháng là 5.935.000 (đồng)
Câu 7. Một người được lĩnh lương khởi điểm là 700.000đ/ tháng. Cứ ba năm anh ta lại được tăng lương thêm 7%. Hỏi sau 36 năm làm việc anh ta được lĩnh tất cả bao nhiêu tiền.
A. 450.788.972
B. 450.788.900
C. 450.799.972
D. 450.678.972
Hướng dẫn giải
Chọn A
Từ đầu năm thứ 1 đến hết năm thứ 3, anh ta nhận được: u1 = 700.000 × 36
Từ đầu năm thứ 4 đến hết năm thứ 6, anh ta nhận được: u2 = 700.000 (1 + 7%) × 36
Từ đầu năm thứ 7 đến hết năm thứ 9, anh ta nhận được: u3 = 700.000 (1 + 7%)2 × 36
…………..
Từ đầu năm thứ 34 đến hết năm thứ 36, anh ta nhận được: u12 = 700.000 (1 + 7%)11 × 36
Vậy sau 36 năm anh ta nhận được tổng số tiền là: u1 + u2 + u3 +…+ u12
Bài tập 8. Theo dự báo với mức tiêu thụ dầu không đổi như hiện nay thì trữ lượng dầu của nước A sẽ hết sau 100 năm nữa. Nhưng do nhu cầu thực tế, mức tiêu thụ tăng lên 4% mỗi năm. Hỏi sau bao nhiêu năm số dầu dự trữ của nước A sẽ hết.
A. n = 41
B. n = 42
C. n = 43
D. n = 41,1
Hướng dẫn giải
Chọn A
Mức tiêu thụ dầu hằng năm của nước A theo dự báo là M thì lượng dầu của nước A là 100M
Mức tiêu thụ dầu theo thực tế là:
Gọi x0 là lượng dầu tiêu thụ năm thứ n
Năm thứ 2 là x2 là x2 = M + 4%M = M(1 + 4%) = 1,04M
Năm thứ n là xn = 1,04n−1 M
Tổng tiêu thụ trong n năm là: x1 + x2 + x3 + … + xn = M + 1,04M + 1,042M + … + 1,04n−1M
⇒ (1 + 1,04 + 1,042 + … + 1,04n-1).M = 100 M
⇔ 1 + 1,04 + 1,042 + … + 1,04n-1 = 100
⇔ 
Giải phương trình bằng lệnh SOLVE được n = 41.
Câu 9. Biết thể tích khí CO2 năm 1998 là V (m3). 10 năm tiếp theo, mỗi năm thể tích CO2 tăng m%, 10 năm tiếp theo nữa thể tích CO2 mỗi năm tăng n%. Tính thể tích CO2 năm 2016?
A. 
B. 
C. 
D. 
Hướng dẫn giải
Chọn B
Thể tích khí CO2 năm 2008 là: 
Thể tích khí CO2 năm 2016 là:
Câu 10. Bà Hoa gửi 100 triệu vào tài khoản định kỳ tính lãi kép với lãi suất là 8%/ năm. Sau 5 năm bà rút toàn bộ tiền và dùng một bữa để sửa nhà, số tiền còn lại bà tiếp tục đem gửi ngân hàng sau 5 năm với cùng lãi suất. Tính số tiền lãi thu được sau 10 năm.
A. 81,412tr
B. 115,892tr
C. 119tr
D. 78tr
Hướng dẫn giải
Chọn A
Sau 5 năm bà Hoa rút được số tiền là: 100(1 + 8%)5 = 146.932 triệu
Suy ra số tiền lãi là: 100(1 + 8%)5 - 100 = L1
Bà dùng một nửa để sửa nhà, nửa còn lại gửi vào ngân hàng
Suy ra số tiền bà gửi tiếp vào ngân hàng là: 73.466(1 + 8%)5 = 107.946 triệu. Suy ra số tiền lãi là 107.946 - 73.466 = L2
Vậy số tiền lãi bà Hoa thu được sau 10 năm là: ∑ L = L1 + L2 = 81,412 tr
Câu 11. Một người lần đầu gửi vào ngân hàng 100 triệu đồng với kì hạn 3 tháng, lãi suất 2% một súy theo hình thức lãi kép. Sau đúng 6 tháng, người đó gửi thêm 100 triệu đồng với kỳ hạn và lãi suất như trước đó. Tổng số tiền người đó nhận được 1 năm sau khi gửi thêm tiền gần nhất với kết quả nào sau đây?
A. 210 triệu
B. 220 triệu
C. 212 triệu
D. 216 triệu
Hướng dẫn giải
Chọn B
3 tháng = 1 quý nên 6 tháng = 2 quý và 1 năm với 4 quý
Sau 6 tháng người đó có tổng số tiền là: 100. (1 + 2%)2 = 104,04tr
Người đó gửi thêm 100tr nên sau tổng số tiền khi đó là 104,04 + 100 = 204,04 tr
Suy ra số tiền sau 1 năm nữa là: 204,04 (1 + 2%)4 ≈ 220tr
Câu 12. Một người gửi tiết kiệm với lãi suất 8,4%/ năm và lãi hàng năm được nhập vào vốn. Hỏi sau bao nhiêu năm người đó thu được gấp đôi số tiền ban đầu?
A. 9
B. 10
C. 8
D. 7
Hướng dẫn giải
Chọn A
Pn = P(1 + 0,084)n
Số tiền sau n năm gấp đôi số tiền ban đầu là:
2P = P(1 + 0,084)n ⇔ P =log1,084 2 ≈ 8,6 = 9 năm
Câu 13. Một người gửi vào ngân hàng 100 triệu đồng với lãi suất ban đầu 4%/năm và lãi hàng năm được nhập vào vốn. Cứ sau một năm lãi suất tăng 0,3%. Hỏi sau 4 năm tổng số tiền người đó nhận được gần nhất với giá trị nào sau đây?
A. 119 triệu
B. 119,5 triệu
C. 120 triệu
D. 120,5 triệu
Hướng dẫn giải
Chọn A
Năm thứ I: 
Năm thứ II: 
Năm thứ III: 
Năm thứ IV: 
Tổng số tiền nhận được sau 4 năm là: T = T1 + T2 + T3 + T4 = 119tr
Câu 14. Anh Nam mong muốn rằng sau 6 năm sẽ có tỷ để mua nhà. Hỏi anh Nam phải gửi vào ngân hàng một khoản tiền tiết kiệm như nhau hàng năm gần nhất với giá trị nào sau đây, biết rằng lãi suất của ngân hàng là 8%/năm và lãi hàng năm được nhập vào vốn.
A. 253,5 triệu
B. 251 triệu
C. 253 triệu
D. 252,5 triệu
Hướng dẫn giải
Chọn D
Cuối năm thứ I:
T1 = a + a.m = a(1 + m)
Đầu năm thứ II:
Cuối năm thứ II:
Suy ra cuối năm thứ n:
(Trong đó a là số tiền ban đầu, m là lãi suất, n là số tháng)
Áp dụng: T = 2.1000tr, n = 6, m = 0,08 ⇒ a ≈ 252,5tr
Câu 15. Một người gửi 15 triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép kì hạn 1 quý, với lãi suất 1,65% một quý. Hỏi sau bao lâu người gửi có ít nhất 20 triệu đồng (bao gồm cả vốn lẫn lãi) từ số vốn ban đầu? (Giả sử lãi suất không thay đổi)
A. 16 quý
B. 18 quý
C. 17 quý
D. 19 quý
Hướng dẫn giải
Chọn B
Cách 1: Tổng số tiền vốn lẫn lãi sau k (quý là):
Thời gian có 20 triệu ⇔ 
(quý)
Vậy sau 18 quý người đó có ít nhất 20 triệu đồng
Cách 2:
Pn = P(1 + r)n, Pn = 20tr, P = 15tr
Câu 16. Biết rằng năm 2001, dân số Việt Nam là 78.685.800 người và tỉ lệ tăng dân số năm đó là 1,7%. Cho biết sự tăng dân số được ước tính theo công thức. S = A.eNr (trong đó A: là dân số của năm lấy làm mốc tính, S là dân số sau N năm, r là tỉ lệ tăng dân số hàng năm), cứ tăng dân số với tỉ lệ như vậy thì đến năm nào dân số nước ở mức 120 triệu người.
A. 2026
B. 2022
C. 2020
D. 2025
Hướng dẫn giải
Chọn A
S = A.eN.r
Câu 17. Số tiền 58.000.000đ gửi tiết kiệm trong 8 tháng thì lãnh về được 61.329.000đ, lãi suất hàng tháng là?
A. 0,8%
B. 0,6%
C. 0,5%
D. 0,7%
Hướng dẫn
61,329 = 58(1 + q)8 (q là lãi suất)
Chọn D
Câu 18. Cô giáo dạy văn gửi 200 triệu đồng loại kì hạn 6 tháng vào ngân hàng với lãi suất 6,9% một năm thì sau 6 năm 9 tháng hỏi cô giáo dạy văn nhận được bao nhiêu tiền cả vốn và lãi biết rằng cô giáo không rút lãi ở tất cả các kì hạn trước và nếu rút trước ngân hàng sẽ trả lãi suất theo loại lãi suất không kì hạn là 0,002% một ngày (1 tháng tính 30 ngày)
A. 471.688.328,8
B. 302.088.933,9
C. 311.392.005,1
D. 321.556.228,1
Hướng dẫn giải
Chọn C
Kì hạn 6 tháng nên mỗi năm có 2 kì hạn
⇒ Lãi suất mỗi kì hạn là: 
6 năm 9 tháng = 81 tháng = 13.6 + 3 tháng = 13 kì hạn + 3 tháng
Số tiền cô giáo thu được sau 13 kì là: T1 = 200(1 + 3,45%)13
Số tiền cô giáo thu được trong 3 tháng tiếp theo là: T2 = 200(1 + 3,45%)13 × 0,002% × 3 × 30
Vậy số tiền cô giáo nhận được sau 6 năm 9 tháng là: T = T1 + T2 ≈ 311,3920051
Câu 19. Một người muốn sau 4 tháng có 1 tỷ để xây nhà. Hỏi người đó phải gửi mỗi tháng là bao nhiêu tiền (như nhau). Biết lãi suất 1 tháng là 1%.
A. 
(tỷ đồng)
B. 
(tỷ đồng)
C. 
(tỷ đồng)
D. 
(tỷ đồng)
Hướng dẫn giải
Chọn B
Gọi Tn là số tiền thu được ở cuối tháng n, x là số tiền thêm vào mỗi tháng
Ta có 
Suy ra Tn = 1,01x + 1,012x + … + 1,01nx
Sau 4 tháng bằng đầu tháng thứ nhất đến cuối tháng
Câu 20. Một người gửi vào ngân hàng 100 triệu đồng với kì hạn 3 tháng, lãi suất 5% một quý theo hình thức lãi kép (sau 3 tháng sẽ tính lãi và cộng vào gốc). Sau đúng tháng, người đó gửi thêm 50 triệu đồng với kì hạn và lãi suất như trước đó. Cho biết số tiền cả gốc và lãi được tính theo công thức T = A(1 + r)n, trong đó A là số tiền gửi, r là lãi suất và n là số kì hạn gửi. Tính tổng số tiền người đó nhận được 1 năm sau khi gửi tiền.
A. ≈ 176,676 triệu đồng
B. ≈ 178,676 triệu đồng
C. ≈ 177,676 triệu đồng
D. ≈ 179,676 triệu đồng
Hướng dẫn giải
Chọn A
Sau 6 tháng (2 quý = 2 kì hạn) người đó có số tiền: T1 = 100(1 + 5%)2 = 110,25 triệu
Sau khi gửi thêm 50 triệu thì số tiền trong ngân hàng là: T2 = T1 + 50
Suy ra số tiền thu được sau 6 tháng nữa để tròn 1 năm là: T3 = T2(1 + 5%)2 = (T1 + 50)(1 + 5%)2
Vậy tổng số tiền thu được sau 1 năm là: T = T3 = (T1 + 50)(1 + 5%)2 ≈ 176,68 triệu đồng.
