Tổng hợp dạng bài về tam giác – Định nghĩa, tính chất và cách chứng minh

Trong quãng thời gian ngồi trên ghế nhà trường, các em học sinh sẽ được biết đến những hình đa giác, trong đó hình tam giác là hình mà các em sẽ được biết đến đầu tiên. Tuy vậy, kiến thức về hình tam giác giữ vai trò vô cùng quan trọng trong tất cả những bài thi và bài kiểm tra của các em. Bài viết dưới đây là tổng hợp dạng bài về tam giác, đầy đủ định nghĩa, tính chất và cách thức chứng minh của những tất cả những kiểu hình tam giác. Nào, các em hãy cùng HOCMAI vào bài nhé!

A. LÝ THUYẾT VỀ TAM GIÁC

I. Khái niệm tam giác

Tam giác là một loại đa giác đơn và là đa giác có số lượng cạnh ít nhất trong các loại đa giác (3 cạnh), tam giác có ba đỉnh là ba điểm không thẳng hàng nhau và ba cạnh là ba đoạn thẳng nối các đỉnh lại với nhau. Tổng của ba góc trong của một tam giác bằng 180 độ.

Có một vài dạng tam giác đặc biệt như sau:

II. Tam giác cân

1. Định nghĩa của tam giác cân

Tam giác cân là tam giác có hai cạnh bên bằng với nhau.

Từ hình vẽ trên, ta có thể xác định được rằng:

- Đỉnh A của tam giác cân ABC là giao điểm của cạnh bên AB và cạnh bên AC.

- Lúc này, góc BAC được gọi là góc ở đỉnh, hai góc còn lại ABC và BCA là hai góc đáy.

Cách dựng tam giác ABC cân tại A

- Lấy điểm B và điểm C bất kì,nối nhau tạo cạnh BC

- Vẽ cung tròn tâm B với bán kính là r

- Vẽ cung tròn tâm C với bán kính là r

Hai cung tròn giao nhau tại một điểm A và một điểm D.

Tam giác ABC hoặc tam giác DBC là tam giác cần vẽ.

2. Tính chất về tam giác cân

- Tính chất 1: Trong tam giác cân, hai góc đáy bằng với nhau.

Ví dụ: Tam giác OAB cân tại đỉnh O ⇒ Góc A bằng với góc B.

- Tính chất 2: Tam giác có hai góc bằng nhau là tam giác cân.

Ví dụ: Tam giác BOD có góc O bằng với góc D ⇒ Tam giác BOD cân tại đỉnh B

- Tính chất 3: Trường hợp đặc biệt của tam giác cân:

Tam giác vuông cân là tam giác vuông có hai cạnh của góc vuông bằng với nhau.

Ví dụ: Tam giác MNP vuông tại M có góc N bằng với góc P ⇒ Tam giác MNP vuông cân tại đỉnh M.

Tính số đo mỗi góc nhọn của một tam giác vuông cân.

Ta có: Δ ABC có góc A = 90°, góc B = góc C

⇒ góc B + góc C = 90° (định lí tổng ba góc trong cùng một tam giác)

⇒ 2.góc C = 90°

⇒ góc B = góc C = 45°

Kết luận: Tam giác vuông cân thì hai góc nhọn bằng nhau và bằng 45°.

III. Tam giác đều

1. Định nghĩa tam giác đều

Tam giác đều là tam giác có ba cạnh bằng với nhau.

Cách dựng tam giác đều ABC

- Lấy điểm B và điểm C bất kì, nối lại tạo thành cạnh BC

- Vẽ (B; BC) và (C; BC)

- (B; BC) ∩ (C; BC) tại điểm A

ABC là tam giác đều cần vẽ.

2. Tính chất của tam giác đều

- Tính chất 1: Trong tam giác đều mỗi góc đều bằng nhau và bằng 60 độ.

Ví dụ: Tam giác OAB đều ⇒ Góc A = góc O = góc B = 60°

- Tính chất 2: Tam giác đều có ba đường cao bằng với nhau.

- Tính chất 3: Tam giác đều có ba đường trung tuyến bằng với nhau.

IV. Tam giác vuông

1. Định nghĩa Tam giác vuông

Tam giác vuông là tam giác có một góc trong ba góc trong tam giác là góc vuông (có số đo bằng 90°).

Cách dựng tam giác ABC vuông tại A

Cho trước cạnh huyền BC bằng 4,5 cm và cạnh góc vuông AC bằng 2 cm.

- Dựng đoạn AC bằng 2 cm

- Dựng góc CAx bằng 90 độ.

- Dựng cung tròn tâm C bán kính là 4,5 cm cắt tia Ax tại điểm B. Nối điểm B và điểm C, ta được đoạn BC. Từ đó ta có Δ ABC cần dựng.

2. Tính chất của Tam giác vuông

- Tính chất 1: Trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau (nghĩa là tổng hai góc bằng 90 độ)

Ví dụ: Tam giác OAB vuông tại đỉnh O

⇒ Góc A + góc B = 90°

- Tính chất 2: Trong tam giác vuông, bình phương của cạnh huyền bằng tổng bình phương của hai cạnh góc vuông.

Ví dụ: Tam giác OAB vuông tại đỉnh O

⇒ OA² + OB² = AB²

- Tính chất 3: Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa số đo của cạnh huyền.

Ví dụ: Tam giác OAB vuông tại đỉnh O và có điểm M là trung điểm của đoạn AB

⇒ MO = MA = MB = nửa AB

B. PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH TAM GIÁC ĐẶC BIỆT

1. Cách chứng minh tam giác là tam giác cân

- Cách 1: Chứng minh tam giác đó có hai cạnh bằng với nhau.

- Cách 2: Chứng minh tam giác đó có hai góc bằng với nhau.

Ví dụ: Trong tam giác ABC có tam giác ABD bằng với tam giác ACD. Chứng minh tam giác ABC là tam giác cân.

+ Chứng minh theo cách 1:

Theo đề bài ra, ta có:

ΔABD = ΔACD

⇒ AB = AC

⇒ Tam giác ABC cân tại đỉnh A

+ Chứng minh theo cách 2:

Theo đề bài ra, ta có:

ΔABD = ΔACD

⇒ Góc B = góc C

⇒ Tam giác ABC cân tại đỉnh A

2. Cách chứng minh tam giác là tam giác đều

- Cách 1: Chứng minh tam giác đó có ba cạnh bằng với nhau.

Ví dụ: Tam giác CAB có CA = CB = AB

⇒ Tam giác CAB là tam giác đều

- Cách 2: Chứng minh tam giác đó có 3 góc bằng nhau.

Ví dụ: Chứng minh tam giác CAB có góc C = góc B = góc A

⇒ Tam giác CAB là tam giác đều

- Cách 3: Chứng minh tam giác đó cân và có một góc bằng 60 độ.

Ví dụ: Tam giác CAB có CA = CB và góc C = 60°

⇒ Tam giác CAB là tam giác đều

- Cách 4: Chứng minh tam giác đó có 2 góc bằng 60 độ.

Ví dụ: Tam giác CAB có góc A = góc B = 60°

⇒ Tam giác CAB là tam giác đều

3. Cách chứng minh Tam giác vuông

- Cách 1: Chứng minh tam giác đó có 2 góc nhọn phụ với nhau.

Ví dụ: Tam giác CAB có góc C + góc B = 90°

⇒ Tam giác CAB vuông tại đỉnh A

- Cách 2: Chứng minh tam giác đó có bình phương độ dài một cạnh bằng tổng bình phương độ dài hai cạnh còn lại.

Ví dụ: Tam giác ACB có BA² + CA² = CB²

⇒ Tam giác CAB vuông tại đỉnh A

- Cách 3: Chứng minh tam giác đó có đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa số đo của cạnh ấy.

Ví dụ: Tam giác CAB có M là trung điểm BC, biết MC = MA = MB = nửa BC

⇒Tam giác CAB vuông tại đỉnh A

- Cách 4: Chứng minh tam giác đó nội tiếp một đường tròn và có một cạnh là đường kính của đường tròn.

Ví dụ: Tam giác CAB nội tiếp đường tròn đường kính BC

⇒ Tam giác CAB vuông tại đỉnh A

C. BÀI TẬP CHỨNG MINH TAM GIÁC ĐẶC BIỆT

Bài 1: Trong các tam giác ở các hình a, b, c, d bên dưới, tam giác nào là tam giác cân? Tam giác nào là tam giác đều? Giải thích vì sao?

Hướng dẫn giải bài:

a) Ta có: AB = BM = AM (gt) ⇒ tam giác ABM là tam giác đều.

AM = CM (gt) ⇒ tam giác MAC cân tại M.

b) Ta có: ED = DG = EG (gt) ⇒ tam giác EDG là tam giác đều.

DH = DE ⇒ tam giác DEH là tam giác cân tại đỉnh D.

Ta có: EG = GF ⇒ tam giác GEF là tam giác cân tại đỉnh G.

Ta có: EH = EF ⇒ tam giác EHF là tam giác cân tại đỉnh E.

c) Ta có: IG = IH (gt) ⇒ tam giác IGH là tam giác cân tại đỉnh I. Mà góc GIH=60 độ (gt). Do đó tam giác IGH là tam giác đều.

Ta có: EG = EH (gt) ⇒ tam giác EGH là tam giác cân tại đỉnh E.

d) Tam giác MBC có: góc M + góc B + góc C = 180 độ

Do đó: 71 độ + góc B + 38 độ = 180 độ ⇒ Góc B = 180 độ - 71 độ - 38 độ = 71 độ

Ta có: Góc B = góc M (cùng bằng 71 độ) ⇒ ΔCBM cân tại đỉnh C

Bài 2: Cho hình bên dưới, biết cạnh ED bằng canh EF; có thêm EI là tia phân giác của góc DEF.

Chứng minh rằng:

a) ΔEID = ΔEIF.

b) ΔDIF cân.

Hướng dẫn giải bài:

a) Xét tam giác EID và EIF ta có:

+ ED = EF (gt)

+ Góc IED= Góc EIF (EI là tia phân giác của góc DEF)

+ EI là cạnh chung.

⇒ Do đó: ΔEID =ΔEIF(c.g.c)

b) ΔEID =ΔEIF (chứng minh câu a) ⇒ cạnh ID bằng cạnh IF. Do đó: tam giác DIF là tam giác cân tại đỉnh I.

Bài 3: Cho Δ ABC là tam giác đều, trên cạnh AB lấy một điểm E, trên cạnh AC lấy một điểm F, trên cạnh BC lấy một điểm P sao cho độ dài ba cạnh BE, AF, PC bằng nhau. Em hãy chứng minh ΔEFP là tam giác đều.

Hướng dẫn giải bài:

Bài 4: Cho tam giác ABC có cạnh AB bằng 6cm, cạnh AC bằng 4,5cm, cạnh BC bằng 7,5cm.

a) Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông tại đỉnh A. Tính số đo góc B, góc C và đường cao AH của tam giác đó.

b) Hỏi rằng điểm M mà diện tích tam giác MBC bằng diện tích tam giác ABC nằm trên đường thẳng nào?

Hướng dẫn giải bài:

Trên đây là tổng hợp dạng bài về tam giác mà HOCMAI đã tổng hợp dựa theo sách giáo khoa. Trong bài, có đầy đủ khái niệm, tính chất và phương pháp chứng minh của những hình tam giác đặc biệt. Các em hiểu rõ tất cả kiến thức ở trong bài viết chưa nào? HOCMAI đã tổng hợp thêm thật nhiều kiến thức bổ ích nữa tại hoctot.hocmai.vn các em hãy tham khảo website này nhé!